逼近分析

㈠ 什麼是逐次逼近法

也可以理解為迭代逼近，就是按照一定的運算公式，結果無限接近於某一已知數值，此方法常作為數值分析的驗證方法。

㈡ 函數逼近論的發展

20世紀初在一批傑出的數學家，包括С.Η.伯恩斯坦、D．傑克森、 瓦萊－普桑、H.L.勒貝格等人的積極參加下，開創了最佳逼近理論蓬勃發展的階段。這一理論主要在以下幾個方面取得了很大進展： 在逼近論中系統地闡明函數的最佳逼近值En(ƒ)（藉助於代數多項式來逼近,或者對2π周期函數藉助於三角多項式來逼近，或藉助於有理函數來逼近等等）的數列當n→∞時的性態和函數ƒ（x）的構造性質（可微性、光滑性、解析性等等）之間內在聯系的理論統稱為定量理論。下面敘述的定理比較典型地反映出函數的構造性質與其最佳逼近值之間的深刻聯系。傑克森、伯恩斯坦、A.贊格蒙證明:2π周期函數ƒ(x)具有滿足條件 或 的r階導數ƒ(r)(r=0，1,2,…)的充分必要條件是，ƒ(x)藉助於三角多項式的n階最佳一致逼近值（簡稱最佳逼近，簡記為）滿足條件 ,式中的M,A是不依賴於n的正的常數。對於【α,b】區間上的（不考慮周期性）連續函數藉助於代數多項式的逼近值與函數構造性質間的聯系也有和上述結果相類似的定理，不過情況比周期函數復雜多了。這一問題是在50年代由蘇聯數學家Α.Ф.季曼、Β.К.賈德克解決的。
傑克森、伯恩斯坦等人的工作對逼近論的發展所產生的影響是深遠的。沿著他們開辟的方向繼續深入，到20世紀30年代中期出現了J.A.法瓦爾、Α.Η.柯爾莫哥洛夫關於周期可微函數類藉助於三角多項式的最佳逼近的精確估計以及藉助於傅里葉級數部分和的一致逼近的漸近精確估計的工作。這兩個工作把從傑克森開始的逼近論的定量研究提高到一個新的水平。從那時起，直到60年代,以С.М.尼科利斯基、Α.И.阿希耶澤爾等人為代表的很多逼近論學者在定量研究方面繼續有許多精深的研究工作。 切比雪夫發現了連續函數的最佳逼近多項式的特徵，提出了以切比雪夫交錯點組著稱的特徵定理。最佳逼近多項式是唯一存在的。最佳逼近多項式的存在性、唯一性及其特徵定理都是定性的結果，對這些問題的深入研究構成了逼近論定性研究的基本內容。匈牙利數學家A.哈爾在1918年首先研究了用廣義多項式在【α,b】上對任意連續函數ƒ的最佳逼近多項式的唯一性問題。在【α,b】上給定n+1個線性無關的連續函。作為逼近函數類，式中α0,α1,…,αn是任意參數。這樣的P(x)稱為廣義多項式。是存在的。哈爾證明,為了對每一連續函數ƒ唯一,必須而且只須任一不恆等於零的廣義多項式P(x,α0,α1,…,αn)在【α, b】內至多有n個不同的根。在20世紀20～30年代,伯恩斯坦、М.Γ.克列因等人對滿足哈爾條件的函做過很多深入的研究。它在逼近論、插值論、樣條分析、矩量論、數理統計中有著比較廣泛的應用。
關於最佳逼近多項式的切比雪夫特徵定理也有很多進一步的研究和推廣。其中最重要的一個推廣是柯爾莫哥洛夫在1948年做出的，它涉及復平面的閉集上的復值連續函數藉助於復值廣義多項式的一致逼近問題（見復變函數逼近）。
對於lp【α，b】（1≤p<+∞）內的函數ƒ藉助於廣義多項式在p 次冪尺度下的逼近問題也建立了類似的一套定性理論。到50～60年代，經過一些學者的努力，抽象逼近的定性理論建立起來。 最佳逼近多項式和被逼近函數間的關系除了平方逼近的情形外一般都不是線性關系。線性關系比較簡單，線性運算元比較容易構造。所以在逼近論發展中人們一直非常重視對線性逼近方法的研究，形成了逼近論中一個很重要的分支──線性運算元的逼近理論。針對特定的函數類、特定的逼近問題設計出構造簡便、逼近性能良好的線性逼近方法與研究各種類型的線性逼近方法（運算元）的逼近性能，一直是線性運算元逼近理論的中心研究課題。在這一方面，幾十年來取得了十分豐富的成果。比較著名的經典結果有E.B.沃羅諾夫斯卡婭、G.G.洛倫茨等對經典的伯恩斯坦多項式
的研究；柯爾莫哥洛夫、尼科利斯基等對周期可微函數的傅里葉級數部分和的逼近階的漸近精確估計；40～60年代許多逼近論學者對作為逼近方法的傅里葉級數的線性求和過程逼近性能的研究（包括對傅里葉級數的費耶爾平均、泊松平均、瓦萊·普桑平均等經典的線性平均方法的研究）。50年代初期∏.∏.科羅夫金深入研究了線性正運算元作為逼近方法的特徵，開辟了單調運算元逼近理論的新方向（見線性正運算元逼近）。40年代中期法瓦爾在概括前人對線性運算元逼近的研究成果的基礎上，提出了線性運算元的飽和性概念做為刻畫運算元的逼近性能的一個基本概念，開辟了運算元飽和理論研究的新方向。 從實際應用的角度來看，要解決一個函數的最佳逼近問題，需要構造出最佳逼近元和算出最佳逼近值。一般說要精確解決這兩個問題十分困難。這種情況促使人們為尋求最佳逼近元的近似表示和最佳逼近值的近似估計而設計出各種數值方法。一個數值方法中包含著有限個確定的步驟，藉助它對每一個函數ƒ可以在它的逼近函數類P(x，α0,α1,…,αn)中求出一個函數作為最佳逼近元的近似解，並且可以估計出誤差。數值方法自然不限於函數的最佳逼近問題。在插值、求積（計算積分的近似值）、函數的展開理論中也都建立了相應的數值方法。近20年來由於快速電子計算機的廣泛應用,數值逼近理論和方法的研究發展很快,成為計算數學和應用數學的重要分支。
除了以上列舉的幾個方向外,還發展了插值逼近、藉助於非線性集（如有理函數）的逼近、聯合逼近、在抽象空間內的逼近等等。 多元函數的逼近問題具有很重要的理論和實踐意義。由於在多元函數的逼近問題中包含了很多為單變元情形所沒有的新的困難，所以多元函數的逼近論比單變元情形的發展要慢得多和晚得多。在多元逼近的情形下已經研究得比較充分的一個基本問題是函數藉助於三角多項式或指數型整函數的最佳逼近階和函數（在一定意義下的）光滑性之間的關系。這一工作主要是由蘇聯學者尼柯利斯基和他的學生們於50～60年代完成的。它除了對函數逼近論本身有重要意義之外，還有很多重要應用。例如，對研究多元函數在低維子流形上的性質，多元函數在一定要求下的開拓問題等都有重要作用。後一類問題的研究屬於泛函分析中的嵌入定理。近年來，在多元函數的線性運算元逼近、插值逼近、樣條逼近和用單變元函數的復合近似表示多元函數等方面都有所進展。
現在函數逼近論已成為函數理論中最活躍的分支之一。科學技術的蓬勃發展和快速電子計算機的廣泛使用給它的發展以強大的刺激。現代數學的許多分支，包括基礎數學中象拓撲、泛函分析、代數這樣的抽象學科以及計算數學、數理方程、概率統計、應用數學中的一些分支都和逼近論有著這樣那樣的聯系。函數逼近論正在從過去基本上屬於古典分析的一個分支發展成為同許多數學分支相互交叉的、密切聯系實際的、帶有一定綜合特色的分支學科。

㈢ 數學分析 高數 連續函數的多項式逼近（2）設函數f（x）在一個無窮區間上可被多項式逼近，證明f（x

就是用Cauchy收斂原理，當N充分大以後多項式序列之間只能相差常數（不是常數的多項式都是無界的）

㈣ 簡述折線近似分析法

你這種情況比較復雜!如果是多個系列，一部分生成柱狀圖，另一部分生成折線圖。可先將所有系列生成柱狀圖，然後用滑鼠選中需要改成折線圖的系列，點右鍵選「圖表類型」，從彈出的窗口中選折線圖，確定即可。

㈤ 數學分析中的無限逼近思想該怎麼理解

既然你知道是什麼意思，那就可以了啊。
為什麼你會覺得「沒有必要」呢？這樣描述的好處就是很准確，比用直觀的語言解釋更准確。
無窮的概念，個人覺得可以理解為：無窮大意味著比任何一個給定的數字都大，無窮小意味著比任何一個給定的數字都小（大於零的數）。直觀地說就是非常非常大，以及非常非常小。。。

㈥ 數學分析 高數 連續函數的多項式逼近（1） 謝謝！

先證明滿足條件的多項式只能是0，然後用一列多項式序列一致逼近f(x)即可

㈦ 什麼是近似分析解

根據無限的"無有終了"的事實,應當把無盡小數看作無窮數列簡寫,採用這種觀點就可以得到實數的運演算法則;如果用康托(Cantor,G)的"無限是現實的、完成了的、存在著的整體"的"實無限"觀點就得不到這個法則.點是針對誤差界的足夠小,其中沒有大小的點叫做理想點,有大小的點叫做近似點.理想點具有無法點出的性質.近似點的集合能夠組成線段,但理想點的集合不能組成線段.絕對准確地討論沒有大小的理想瞬時上的速度沒有實際意義,理想的瞬時速度依賴於近似瞬時的速度.對於點、線、面、實數、函數、導數、積分、積分變換、實數集等數學名詞都需要提出近似、理想、全能近似三類技術術語,應用對立統一法則去闡述數學理論.

㈧ 有哪些理論是運用無限逼近思想的

初中數學教材中體現出的基本數學思想 數學思想方法是數學學科的精髓,是數學素養的重要內容之一,只有充分掌握領會,才能用效地應用知識,形成能力.那麼,什麼是數學思想呢?數學思想是指現實世界的空間形式和數量關系不反映到人的意識之中,經過思維活動而產生結果,是對數學事實與理論的本質認識. 初中數學整套教材涉及的數學思想三十多種,這里就幾種主要的數學思想作一總結. 一、用字母表示數的思想,這是基本的數學思想之一 在代數第一冊第一章「代數初步知識」中,主要體現了這種思想.例如： 設甲數為a,乙數為b,用代數式表示：（1）甲乙兩數的和的2倍：2（a+b）(2)甲數的1/3與乙數的1/2差：1/3a-1/2b 二、數形結合的思想 「數形結合」是數學中最重要的,也是最基本的思想方法之一,是解決許多數學問題的有效思想.實中數學教材中下列內容體現了這種思想. 1、數軸上的點與實數的一一對應的關系. 2、平面上的點與有序實數對的一一對應的關系. 3、函數式與圖像之間的關系. 4、線段（角）的和、差、倍、分等問題,充分利用數來反映形. 5、解三角形,求角度和邊長,引入了三角函數,這是用代數方法解決何問題.6、「圓」這一章中,賀的定義,點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系等都是化為數量關系來處理的. 7、統計初步中統計的第二種方法是繪制統計圖表,用這些圖表的反映數據的分情況,發展趨勢等.實際上就是通過「形」來反映數據扮布情況,發展趨勢等.實際上就是通過「形」來反映數的特徵,這是數形結合思想在實際中的直接應用. 三、轉化思想 在整個初中數學中,轉化（化歸）思想一直貫穿其中.轉化思想是把一個未知（待解決）的問題化為已解決的或易於解決的問題來解決,它是數學基本思想方法之一.下列內容體現了這種思想： 1、分式方程的求解是分式方程轉化為前面學過的一元二次方程求解,這里把待解決的新問題化為已解決的問題來求解,體現了轉化思想. 2、解直角三角形；把非直角三形問題化為直角三角形問題；把實際問題轉化為數學問題. 3、「圓」這一章中,證明圓周角定理進所做的分析：證明弦切角定理的思路：求兩圓的切線長的問題.這些轉化都是通過輔助線來完成的. 4、把三角形或多邊形中的某種線段或面積問題化為相似比問題來解決. 四、分類思想 集合的分類,有理數的分類、整式的分類、實數的分類、角的分類,三角形的分類、四邊形的分類、點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系,圓與圓的位置關生活經驗等都是通過分類討論的. 五、特殊與一般化思想 1．「圓」這一章中,證明圓周角定理和弦切角定理時用的是特殊到一般的方法,而相交弦定理及其推論則是一般到特殊的思想運用. 2.「整式乘除」這一章,首先人數和的運算特例中,抽象概括出冪的一般運算性質.例：103 ×103 =（10×10×10）（10×10）=10×10×10×10=105 =103 + 2 a3 ??a3 =a3 + 2 am ??an am + n 乘法公式的推導則是採用一般到特殊的推導過程. 六、類比思想 1． 不等式的性質,一元一次不等式的解法等內容時多採取與等式的性質,一無一次方和的解法等做類比. 2． 通過有理數的相反數、絕對值、運算律等得到實靈敏的相反數、絕對值、運算律等知識. 3． 在二次根式加減的運算中,指出「合並同類二次根式與合並同類項」類似.因此,二次根式的加減可以對比整式的加減進行. 4． 「角的度量、角的比較大小、角的和、差及平他線」,可與線段的相關知識進行類比；度、分、秒的運算可與時、分、秒的運算進行類比. 5． 相似多邊形的性質和相似三角形的性質類比. 七、數式通性 用數的運算所具有的性質,去控索式的同類運算是否也具有這樣的性質,如具有,叫數式通性,整式的乘除這一章中,是由數的性質推知式的性質的；由數的國減推知式的加減的. 八、同類合並思想 這一思想在「整式的加減」這一章中的具體體現是合並同類項.「根式」這一章中的合並同類根式. 九、無逼近思想 在無限不循環小數以及用有理數逼近表示無理數時,體現了無限逼近的思想. 十、對稱變換思想 在 根式乘法、根式除法、√a2 =a(a=0)等內容中,多次運用等價轉化、對稱變化,反用公式的

㈨ 數學分析函數逼近部分問題，如圖

這題很容易，要想想幾何意義。

用反證法，如果結論不成立，那麼存在(a,b)的子區間[u,v]及(u,v)上的一點m使得(v-u)f(m)>(v-m)f(u)+(m-u)f(v)。
考察函數g(x)=f(x)-L(x)，其中L(x)=[f(v)-f(u)](x-u)/(v-u)，即連接(u,f(u))和(v,f(v))的直線段，這樣g(u)=g(v)=0但g(m)>0，不妨設m是g在[u,v]上的最大值點。
再取H=sup{h|[m-h,m+h]包含於[u,v]且對任意x屬於[m-h,m+h]都有g(x)>=0}，那麼顯然H存在且g(m+H)和g(m-H)中至少有一個為零，此時直接驗證積分的條件不成立即可，兩道題都一樣。

㈩ 分析透鏡焦距的測量實驗中，左右逼近法讀數原理及作用

做實驗，材料光屏、蠟燭、凸透鏡、光具座，在凸透鏡的焦點上不能成像，那麼不能成像的位置就是焦點，而數據可以定為在一倍焦距內、二倍焦距內和二倍焦距外的數據進行測量、記錄。做實驗，材料光屏、蠟燭、凸透鏡、光具座，在凸透鏡的焦點上不能成像，那麼不能成像的位置就是焦點，而數據可以定為在一倍焦距內、二倍焦距內和二倍焦距外的數據進行測量、記錄。做實驗，材料光屏、蠟燭、凸透鏡、光具座，在凸透鏡的焦點上不能成像，那麼不能成像的位置就是焦點，而數據可以定為在一倍焦距內、二倍焦距內和二倍焦距外的數據進行測量、記錄。做實驗，材料光屏、蠟燭、凸透鏡、光具座，在凸透鏡的焦點上不能成像，那麼不能成像的位置就是焦點，而數據可以定為在一倍焦距內、二倍焦距內和二倍焦距外的數據進行測量、記錄。做實驗，材料光屏、蠟燭、凸透鏡、光具座，在凸透鏡的焦點上不能成像，那麼不能成像的位置就是焦點，而數據可以定為在一倍焦距內、二倍焦距內和二倍焦距外的數據進行測量、記錄。做實驗，材料光屏、蠟燭、凸透鏡、光具座，在凸透鏡的焦點上不能成像，那麼不能成像的位置就是焦點，而數據可以定為在一倍焦距內、二倍焦距內和二倍焦距外的數據進行測量、記錄。做實驗，材料光屏、蠟燭、凸透鏡、光具座，在凸透鏡的焦點上不能成像，那麼不能成像的位置就是焦點，而數據可以定為在一倍焦距內、二倍焦距內和二倍焦距外的數據進行測量、記錄。