幾何分析法的概念

Ⅰ 數學中的幾何是什麼意思

幾何，就是研究空間結構及性質的一門學科。它是數學中最基本的研究內容之一，與分析、代數等等具有同樣重要的地位，並且關系極為密切。

幾何學發展歷史悠長，內容豐富。它和代數、分析、數論等等關系極其密切。幾何思想是數學中最重要的一類思想。暫時的數學各分支發展都有幾何化趨向，即用幾何觀點及思想方法去探討各數學理論。常見定理有勾股定理，歐拉定理，斯圖爾特定理等。

最早的幾何學當屬平面幾何。平面幾何就是研究平面上的直線和二次曲線（即圓錐曲線，就是橢圓、雙曲線和拋物線）的幾何結構和度量性質（面積、長度、角度）。平面幾何採用了公理化方法，在數學思想史上具有重要的意義。

平面幾何的內容也很自然地過渡到了三維空間的立體幾何。為了計算體積和面積問題，人們實際上已經開始涉及微積分的最初概念。

(1)幾何分析法的概念擴展閱讀：

與幾何相關的名言：

（1）不懂幾何者勿入。 ——柏拉圖

（2）幾何看來有時候要領先於分析，但事實上，幾何的先行於分析，只不過像一個僕人走在主人的前面一樣，是為主人開路的。——西爾維斯特

（3）分形幾何不僅展示了數學之美，也揭示了世界的本質，還改變了人們理解自然奧秘的方式；可以說分形幾何是真正描述大自然的幾何學，對它的研究也極大地拓展了人類的認知疆域。——周海中

（4）笛卡兒的解析幾何於牛頓的微積分已被擴張到羅巴切夫斯基、黎曼、高斯和塞爾維斯托的奇異的數學方法中。事實上，數學不僅是各門學科所必不可少的工具，而且它從不顧及直觀感覺的約束而自由地飛翔著。——尼古拉斯·默里·巴特勒

Ⅱ 幾何分為哪幾類

平面幾何、立體幾何、非歐幾何、羅氏幾何、黎曼幾何、解析幾何、射影幾何、仿射幾何、代數幾何、微分幾何、計算幾何。

幾何這個詞最早來自於阿拉伯語，指土地的測量，即測地術。後來拉丁語音譯為「geometria」。中文中的「幾何」一詞，最早是在明代利瑪竇、徐光啟合譯《幾何原本》時，由徐光啟所創。

當時並未給出所依根據，後世多認為一方面幾何可能是拉丁化的希臘語GEO的音譯，另一方面由於《幾何原本》中也有利用幾何方式來闡述數論的內容，也可能是magnitude（多少）的意譯，所以一般認為幾何是geometria的音、意並譯。

1607年出版的《幾何原本》中關於幾何的譯法在當時並未通行，同時代也存在著另一種譯名——形學，如狄考文、鄒立文、劉永錫編譯的《形學備旨》，在當時也有一定的影響。

在1857年李善蘭、偉烈亞力續譯的《幾何原本》後9卷出版後，幾何之名雖然得到了一定的重視，但是直到20世紀初的時候才有了較明顯的取代形學一詞的趨勢，如1910年《形學備旨》第11次印刷成都翻刊本徐樹勛就將其改名為《續幾何》。直至20世紀中期，已鮮有「形學」一詞的使用出現。

(2)幾何分析法的概念擴展閱讀

最早的幾何學當屬平面幾何。平面幾何就是研究平面上的直線和二次曲線（即圓錐曲線，就是橢圓、雙曲線和拋物線）的幾何結構和度量性質（面積、長度、角度）。平面幾何採用了公理化方法，在數學思想史上具有重要的意義。

平面幾何的內容也很自然地過渡到了三維空間的立體幾何。為了計算體積和面積問題，人們實際上已經開始涉及微積分的最初概念。

笛卡爾引進坐標系後，代數與幾何的關系變得明朗， 且日益緊密起來。這就促使了解析幾何的產生。解析幾何是由笛卡爾、費馬分別獨立創建的。這又是一次具有里程碑意義的事件。

從解析幾何的觀點出發，幾何圖形的性質可以歸結為方程的分析性質和代數性質。幾何圖形的分類問題（比如把圓錐曲線分為三類），也就轉化為方程的代數特徵分類的問題，即尋找代數不變數的問題。

立體幾何歸結為三維空間解析幾何的研究范疇，從而研究二次曲面（如球面，橢球面、錐面、雙曲面，鞍面）的幾何分類問題，就歸結為研究代數學中二次型的不變數問題。

Ⅲ 幾何是什麼為什麼叫幾何

1.種類較多，包括：平面幾何、立體幾何、非歐幾何、羅氏幾何、黎曼幾何、解析幾何、射影幾何、仿射幾何、代數幾何、微分幾何、計算幾何、拓撲學、分形幾何等。
2.幾何這個詞最早來自於希臘語「γεωμετρία」，由「γέα」（土地）和「μετρε ĭν」（測量）兩個詞合成而來，指土地的測量，即測地術。後來拉丁語化為「geometria」。中文中的「幾何」一詞，最早是在明代利瑪竇、徐光啟合譯《幾何原本》時，由徐光啟所創。當時並未給出所依根據，後世多認為一方面幾何可能是拉丁化的希臘語GEO的音譯，另一方面由於《幾何原本》中也有利用幾何方式來闡述數論的內容，也可能是magnitude（多少）的意譯，所以一般認為幾何是geometria的音、意並譯。
1607年出版的《幾何原本》中關於幾何的譯法在當時並未通行，同時代也存在著另一種譯名——形學，如狄考文、鄒立文、劉永錫編譯的《形學備旨》，在當時也有一定的影響。在1857年李善蘭、偉烈亞力續譯的《幾何原本》後9卷出版後，幾何之名雖然得到了一定的重視，但是直到20世紀初的時候才有了較明顯的取代形學一詞的趨勢，如1910年《形學備旨》第11次印刷成都翻刊本徐樹勛就將其改名為《續幾何》。直至20世紀中期，已鮮有「形學」一次的使用出現。
回答者： 向偉明 - 江湖新秀 四級 10-28 17:52
幾何學
學過數學的人，都知道它有一門分科叫作「幾何學」，然而卻不一定知道「幾何」這個名稱是怎麼來的。在我國古代，這門數學分科並不叫「幾何」，而是叫作「形學」。「幾何」二字，在中文裡原先也不是一個數學專有名詞，而是個虛詞，意思是「多少」。比如三國時曹操那首著名的《龜雖壽》詩，有這么兩句：「對酒當歌，人生幾何？」這里的「幾何」就是多少的意思。那麼，是誰首先把「幾何」一詞作為數學的專業名詞來使用的，用它來稱呼這門數學分科的呢？這是明末傑出的科學家徐光啟。 ==簡史==

幾何學有悠久的歷史。最古老的[[歐氏幾何]]基於一組公設和定義，人們在公設的基礎上運用基本的邏輯推理構做出一系列的命題。可以說，《[[幾何原本]]》是公理化系統的第一個範例，對西方數學思想的發展影響深遠。

一千年後，[[笛卡兒]]在《[[方法論]]》的附錄《幾何》中，將[[坐標]]引入幾何，帶來革命性進步。從此幾何問題能以[[代數]]的形式來表達。實際上，幾何問題的代數化在[[中國數學史]]上是顯著的方法。笛卡兒的創造，是否有東方數學的影響在裡面，由於東西方數學交流史研究的欠缺，尚不得而知。

歐幾里得幾何學的第五公設，由於並不自明，引起了歷代數學家的關注。最終，由羅巴切夫斯基和黎曼建立起兩種非歐幾何。

幾何學的現代化則歸功於[[克萊因]]、[[希爾伯特]]等人。克萊因在普呂克的影響下，應用群論的觀點將幾何變換視為特定不變數約束下的變換群。而希爾比特為幾何奠定了真正的科學的公理化基礎。應該指出幾何學的公理化，影響是極其深遠的，它對整個數學的嚴密化具有極其重要的先導作用。它對數理邏輯學家的啟發也是相當深刻的。

＝＝古代幾何學＝＝

幾何最早的有記錄的開端可以追溯到古埃及（參看古埃及數學），古印度（參看古印度數學），和古巴比倫（參看古巴比倫數學），其年代大約始於公元前3000年。早期的幾何學是關於長度，角度，面積和體積的經驗原理，被用於滿足在測繪，建築，天文，和各種工藝製作中的實際需要。在它們中間，有令人驚訝的復雜的原理，以至於現代的數學家很難不用微積分來推導它們。例如，埃及和巴比倫人都在畢達哥拉斯之前1500年就知道了畢達哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱錐的錐台（截頭金字塔形）的體積的正確公式；而巴比倫有一個三角函數表。

中國文明和其對應時期的文明發達程度相當，因此它可能也有同樣發達的數學，但是沒有那個時代的遺跡可以使我們確認這一點。也許這是部分由於中國早期對於原始的紙的使用，而不是用陶土或者石刻來記錄他們的成就。

＝＝名稱的來歷＝＝

幾何這個詞最早來自於希臘語「γεωμετρία」，由「γέα」（土地）和「μετρε ĭν」（測量）兩個詞合成而來，指土地的測量，即測地術。後來拉丁語化為「geometria」。中文中的「幾何」一詞，最早是在明代利瑪竇、徐光啟合譯《幾何原本》時，由徐光啟所創。當時並未給出所依根據，後世多認為一方面幾何可能是拉丁化的希臘語GEO的音譯，另一方面由於《幾何原本》中也有利用幾何方式來闡述數論的內容，也可能是magnitude（多少）的意譯，所以一般認為幾何是geometria的音、意並譯。

1607年出版的《幾何原本》中關於幾何的譯法在當時並未通行，同時代也存在著另一種譯名——形學，如狄考文、鄒立文、劉永錫編譯的《形學備旨》，在當時也有一定的影響。在1857年李善蘭、偉烈亞力續譯的《幾何原本》後9卷出版後，幾何之名雖然得到了一定的重視，但是直到20世紀初的時候才有了較明顯的取代形學一詞的趨勢，如1910年《形學備旨》第11次印刷成都翻刊本徐樹勛就將其改名為《續幾何》。直至20世紀中期，已鮮有「形學」一次的使用出現。

＝＝分支學科＝＝

平面幾何

立體幾何

非歐幾何

羅氏幾何

黎曼幾何

解析幾何

射影幾何

仿射幾何

代數幾何

微分幾何

計算幾何

拓撲學

Ⅳ 數學中的「幾何」的概念是什麼什麼叫「解析幾何」

幾何，就是研究空間結構及性質的一門學科。它是數學中最基本的研究內容之一，與分析、代數等等具有同樣重要的地位， 並且關系極為密切。
http://ke..com/view/15136.html?wtp=tt

解析幾何系指藉助坐標系，用代數方法研究集合對象之間的關系和性質的一門幾何學分支，亦叫做坐標幾何

Ⅳ 什麼叫幾何思維能力

數學思維能力，就是在數學思維活動中，直接影響著該活動效率，使活動得以順利完成的個體穩定的心理特徵。數學思維能力是數學能力的一個重要因素。

數學思維能力，受到個體數學概括水平、抽象水平及推理水平等因素的影響，因此數學思維能力的主要成分應包括數學概括能力、邏輯思維能力、直覺思維能力、數學問題解決能力以及數學創造性思維能力等要素。數學思維能力的培養，應注重對各個思維能力成分的專項訓練，注意培養學生良好的思維品質，同時兼顧諸能力的協同發展。下面分別論述。

一、數學思維能力單因素的培養途徑

1．數學概括能力的培養

概括是一種思維過程，它包括兩種意義：①指在思想上把具有相同的本質特性的事物聯合起來；②指把被研究對象的本質特性推廣為范圍更廣的包含這個對象的同類事物的本質特性。數學概括能力是在數學活動中表現出來的概括能力，即概括數學對象、數量關系和空間形式的能力。

在教學中，首先要加強學生對概念、命題的概括能力訓練。通過具體實例，在分析、綜合、抽象的基礎上概括出概念的本質屬性，是培養學生概括能力的有效手段。譬如，函數、映射等概念的教學，都可以充分地展示概念的概括過程。同樣，命題教學也是培養學生概括能力的重要場所。一個數學命題的產生不是孤立的、偶然的，它必然與某些概念、命題之間存在一定的關系，有其產生的背景。定理、公式往往又是一類問題中具有代表性、統攝程度高的問題，而把諸多問題的共同屬性抽象出來，形成定理或公式，這就需要一定的概括能力。因此，命題教學中應注重由特殊到一般的概括過程，如韋達定理、二項式定理、和角公式等命題的教學，都可以進行從特殊到一般的概括。

其次，要培養學生對模式和方法的概括能力。從現實問題中概括出具體的數學模型，例如，列方程或不等式解應用問題，用排列或組合解應用問題等，就是一種模式概括。另外，數學問題的解決也存在不同的模式，概括一個問題的多種解題模式，找出模式之間的聯系，對培養學生的概括能力是十分有益的。在學完一節、一章的內容之後，可以進行知識體系、解題程序和解題方法的概括，例如，「因式分解」的方法可概括為「一提、二公、三分組」，它既包括了因式分解的三種方法，又揭示了應用時的程序。關於函數研究的一般順序可概括為：定義→對應法則→定義域→值域→圖象→性質→應用，這樣就明確了研究函數的基本程序和方法。要注意的是，應當在教師引導下，更多地讓學生自己去概括，這樣才能提高和發展學生的概括能力。

2．直覺思維能力的培養

直覺思維與邏輯思維是數學思維的兩種互補形式，直覺思維的培養應與邏輯思維培養結合起來進行。

在教學中，教師要引導學生尋找和發現事物的內在聯系，發現隱蔽關系，對各種信息綜合考察，作出直覺的想像和判斷。一般說來，類比能啟發直覺，直觀的背景材料也能激發直覺思維。

分析 首先通過觀察，發現它與|a＋b|≤|a|＋|b|形狀相似，於是直

＜0。解得x＞7。

例2 已知：ai∈(0，1)，i=1，2，…，n，求證：當n＞1

分析 先將問題特殊化，取n=2，欲證1-a1a2＜(1-a1)＋(1-a2)。觀察1-a1a2，直覺想像該式與圖形的面積有關，事實上單位正方形的面積減去長、寬分別為a1、a2的矩形面積恰為1-a1a2。於是構造圖8－6(左)。觀察圖中可得1-a1a2=1-a1＋(1-a2)a1，而0＜a1＜1，所以1-a1a2＜(1-a1)＋(1-a2)。

再考察n=3的情形，將1-a1a2a3視為單位立方體的體積減去長、寬、高分別為a1、a2、a3的立方體體積，如圖8－6(右)，得1-a1a2a3=1-a1＋(1-a2)a1＋(1-a3)a1a2，而0＜a1，a2＜1，所以1-a1a2a3＜(1-a1)＋(1-a2)＋(1-a3)。

對於一般情形，雖然失去了幾何原形，但憑直覺可以猜想上述的解題方法具有一般性，事實上，1-a1=1-a1，(1-a2)a1＜1-a2，(1-a3)a1a2＜1-a3，…，(1-an)a1a2…an-1＜1-an。諸式相加即得1-a1a2…

另外，注重追求數學本身的美，如對稱、和諧、簡潔、奇異、統一等，往往可以在對美感的追求中產生頓悟，這不僅對數學研究有重要的方法論意義，而且對學習數學，培養學生的數學直覺思維能力也有積極的促進作用。

3．數學問題解決及創造性思維能力的培養

首先，要培養學生發現和探索數學問題的能力，包括從現實生活中抽象和概括出數學模型，以及在數學自身體系中去發現新的數學問題。教學中應使學生學好基礎知識，掌握基本的解題模式和方法，形成必要的解題技能。教師應給學生講授一些必要的數學方法，如一般化與特殊化、類比與猜想等。使學生掌握一定的探索數學問題的工具。同時，還要注意訓練學生的逆向思維和發散思維，這是創造性思維中最活躍的要素。

其次，要培養學生評價數學問題、推廣和綜合數學問題的能力。題目解完後，應對題目進行反思，思考自己的解法是否最優？其解法是否具有普遍意義？問題本身是否具有推廣價值？將條件減弱或加強能得到怎樣的結論、逆命題是否成立等。例如，當等比數列的前n項和公式推導出來後，應對其推導方法作回顧，發現這種方法不僅能解決等比數列的求和，而且還能解決諸如｛anbn｝(其中｛an｝是等差數列，｛bn｝是等比數列)等數列的求和問題。

綜合數學問題指能夠辨別數學知識之間的差異，找出知識之間的聯系，形成概念體系、命題體系和方法體系。例如，在學完等差數列和等比數列的內容之後，可以引導學生思考：能否用一個關系式將這兩種數列合為一體？經過分析後發現可以做到。設an＋1=Aan＋B(其中A、B為常數，n≥2)，當A=1時為等差數列，當A≠0，B=0時為等比數列。進而再引導學習思考：是否可以求出這個數列的通項及求和公式？若能辦到，豈不是就找到了等差、等比數列通項及求和的統一公式了嗎？於是採用新的方法，將這個問題徹底解決。

推廣數學問題，對於培養學生的創造性思維能力是十分有益的，教師應適時、適當地開展這項工作，充分利用課本中的例、習題、引導學生去挖掘和拓廣數學問題。

例3 如圖8－7，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC於D，F

引導學生思考，因AB=AC，AD⊥BC與D是BC的中點，三個條件是「三線合一」定理，因此可以通過「換位」構造新命題。

命題1：D為△ABC中BC邊中點，F為AD的中點，CF的延長

再將特殊點D和F一般化，得如下推廣命題。

命題4：在△ABC中，D為BC上一點，F為AD上一點，且

二、數學思維品質的培養途徑

培養學生的數學思維品質，就是從提高數學思維的質量方面去發展數學思維能力。思維品質是個體發展水平的一個重要方面，加強思維品質的訓練對提高數學思維能力有重要的促進作用。

1．要展示數學思維的活動過程

傳統的數學教學注重數學的結果教學，即以知識和已有的數學結論為中心，目的是讓學生學習和掌握系統的數學知識，忽視數學知識本身的產生和發展過程。現代數學教學觀則強調數學的思維活動教學，數學教學不僅要反映數學活動的結果——理論，而且還要反映這些理論的形成發展以及思維的活動過程。

數學教材所表現的是經過邏輯加工後的數學理論體系，呈現為概念——定理(公式、法則)——例題(習題)的純數學系統，而沒有揭示概念的發展、定理的發現、證明思路的猜測和證明方法的探索等過程，這事實上在一定程度上顛倒了數學發現的過程，掩蓋、淹沒了數學發現、數學創造和數學應用的思維活動。如果教師在教學中照本宣科，把教材內容原樣地灌給學生，這無疑將會抑制學生的探索、發現、創新思想，阻礙學生思維的發展和能力的提高。因此在教學中，教師要精心組織教學內容，將凝結於教材中的思維活動展開，把演繹體系背後存在的大量豐富內容挖掘出來，為學生創設問題情景，引起認知沖突，構建知識體系。

概念教學中，要充分揭示概念的產生、抽象和概括過程。公式、法則、性質、定理的教學，要努力暴露出規律被發現的過程及證明思路的探索過程，找出命題之間的聯系，形成命題體系，這對於培養思維的深刻性是十分有益的。例如，講述圓冪定理時，可以通過圖8－8的一組圖形，啟發學生從運動、變化的觀點去發現問題，這樣便依次可得到相交弦定理、割線定理、切割線定理、切線長定理，同時又找出了諸定理證明的統一的方法。

例題、習題的教學是培養思維品質的良好場所，教師應側重揭示方法的探索和方法的選擇過程，暴露思維活動，起到引路指津的作用，而不是越俎代庖。習題的選擇要在運用知識的廣度、思維訓練的強度、發展智能的效度等多方位的全面考慮。培養思維的深刻性、靈活性、敏捷性常採用一題多解的方法，培養思維的獨創性、批判性則可採用一題多變的方式進行。

2．要使學生掌握必須的數學思維方法

前面介紹了常見的幾種數學思維方法，在教學中，教師應努力做到使學生掌握這些思維方法，不能理解和靈活地運用數學思維方法，就談不上思維品質的優化。

首先，掌握數學思維方法應有一個思維定向訓練過程，即訓練學生在遇到新問題時，善於識別問題的特徵，准確地將其歸結為某種數學模型，盡快地明確解題思路，選擇解題方法。例如，解方程的基本思路是通過消元或降次去實現化歸；平面幾何中證明直線共點和點共線問題，一般採用解析方法處理；立體幾何中求異面直線間的距離以及線面、面面間的距離，一般總是將其轉化為求點線、點面的距離等。

其次，思維技能的訓練也是一個不可缺少的環節。思維技能形成的標志是動作或心智活動的熟練化，而心智技能形成又主要表現在思維的敏捷性、思維的廣度與深刻性等品質方面。技能的形成要通過一定的反復練習，但不能局限於呆板的機械操作，應有意識地突出技能訓練中的思維成分。譬如，解一元二次方程，除了掌握求根公式外，還應訓練學生如何通過觀察、判斷來實施操作，迅速地選取合適的方法求解。

例如，解下列方程：

(1)18x2-33x＋15=0；

(2)(1992x)2-1991×1993x-1=0；

這些方程分別有1或-1的根，若能通過觀察發現這個根，則另一根就很容易求出。

使學生掌握必須的數學思維方法，還必須處理好各種思維方法的辯證關系，不可厚此薄彼，對於演繹與歸納、邏輯思維與直覺思維、證明與反駁等等，都不應過份強調一種思維方法的重要性而忽視另一方面的作用。單一的思維方式不利於思維品質的提高，而且還會形成思維的定勢，阻礙思維能力的發展。

三、數學思維能力諸因素的協同發展

數學思維能力的提高，受到其各因素成分的發展制約，整體數學思維能力的健全是各構成因素協同發展的結果。因而，培養和訓練協同發展各能力因素是培養數學思維能力的有效途徑。

1．各能力因素的培養應在相應的思維活動中進行

前面已經討論了暴露思維過程在思維品質培養方面的作用，更具體地說，各能力因素的培養，應在相應的思維活動中進行，各種思維方式有不同的活動情境，產生不同的功能。各種思維方法之間相互滲透，各種思維能力因素相互聯系、互為作用，正確處理好部分的功能就最大限度地提高整體的功能。因此要掌握數?

Ⅵ 什麼是幾何分析法

用函數分析，叫解析幾何

Ⅶ 、簡述體系幾何分析的具體方法有哪些

先讀題目，然後，逐一分析題目的要求，再逐一按照要求列算式，算出結果，最後，再檢查一下，看有沒有算錯的地方，然後修改，最後總結答案。

Ⅷ 幾何法和解析法各自有什麼特點

幾何法比較直觀，解析法比較嚴謹但比較麻煩。華羅庚說過，數無形時少直覺，形少數時難入微，我覺得是比較精闢的。

Ⅸ 什麼叫幾何

幾何，就是研究空間結構及性質的一門學科。它是數學中最基本的研究內容之一，與分析、代數等等具有同樣重要的地位，並且關系極為密切。幾何學發展歷史悠長，內容豐富。它和代數、分析、數論等等關系極其密切。幾何思想是數學中最重要的一類思想。暫時的數學各分支發展都有幾何化趨向，即用幾何觀點及思想方法去探討各數學理論。常見定理有勾股定理，歐拉定理，斯圖爾特定理等。

幾何學發展歷史悠長，內容豐富。它和代數、分析、數論等等關系極其密切。幾何思想是數學中最重要的一類思想。暫時的數學各分支發展都有幾何化趨向，即用幾何觀點及思想方法去探討各數學理論。

平面與立體
最早的幾何學當屬平面幾何。平面幾何就是研究平面上的直線和二次曲線（即圓錐曲線，就是橢圓、雙曲線和拋物線）的幾何結構和度量性質（面積、長度、角度）。平面幾何採用了公理化方法，在數學思想史上具有重要的意義。
平面幾何的內容也很自然地過渡到了三維空間的立體幾何。為了計算體積和面積問題，人們實際上已經開始涉及微積分的最初概念。
笛卡爾引進坐標系後，代數與幾何的關系變得明朗，且日益緊密起來。這就促使了解析幾何的產生。解析幾何是由笛卡爾、費馬分別獨立創建的。這又是一次具有里程碑意義的事件。從解析幾何的觀點出發，幾何圖形的性質可以歸結為方程的分析性質和代數性質。幾何圖形的分類問題（比如把圓錐曲線分為三類），也就轉化為方程的代數特徵分類的問題，即尋找代數不變數的問題。
立體幾何歸結為三維空間解析幾何的研究范疇，從而研究二次曲面（如球面，橢球面、錐面、雙曲面，鞍面）的幾何分類問題，就歸結為研究代數學中二次型的不變數問題。
總體上說，上述的幾何都是在歐氏空間的幾何結構——即平坦的空間結構——背景下考察，而沒有真正關注彎曲空間下的幾何結構。歐幾里得幾何公理本質上是描述平坦空間的幾何特性，特別是第五公設引起了人們對其正確性的疑慮。由此人們開始關注其彎曲空間的幾何，即「非歐幾何」。非歐幾何中包括了最經典幾類幾何學課題，比如「球面幾何」，「羅氏幾何」等等。另一方面，為了把無窮遠的那些虛無縹緲的點也引入到觀察范圍內，人們開始考慮射影幾何。
這些早期的非歐幾何學總的來說，是研究非度量的性質，即和度量關系不大，而只關注幾何對象的位置問題——比如平行、相交等等。這幾類幾何學所研究的空間背景都是彎曲的空間。
微分幾何
為了引入彎曲空間的上的度量（長度、面積等等），我們就需要引進微積分的方法去局部分析空間彎曲的性質。微分幾何於是應運而生。研究曲線和曲面的微分幾何稱為古典微分幾何。但古典微分幾何討論的對象必須事先嵌入到歐氏空間里，才定義各種幾何概念等等（比如切線、曲率）。一個幾何概念如果和幾何物體所處的空間位置無關，而只和其本身的性態相關，我們就說它是內蘊的。用物理的語言來說，就是幾何性質必須和參考系選取無關。