逼近分析

㈠ 什么是逐次逼近法

也可以理解为迭代逼近，就是按照一定的运算公式，结果无限接近于某一已知数值，此方法常作为数值分析的验证方法。

㈡ 函数逼近论的发展

20世纪初在一批杰出的数学家，包括С.Η.伯恩斯坦、D．杰克森、 瓦莱－普桑、H.L.勒贝格等人的积极参加下，开创了最佳逼近理论蓬勃发展的阶段。这一理论主要在以下几个方面取得了很大进展： 在逼近论中系统地阐明函数的最佳逼近值En(ƒ)（借助于代数多项式来逼近,或者对2π周期函数借助于三角多项式来逼近，或借助于有理函数来逼近等等）的数列当n→∞时的性态和函数ƒ（x）的构造性质（可微性、光滑性、解析性等等）之间内在联系的理论统称为定量理论。下面叙述的定理比较典型地反映出函数的构造性质与其最佳逼近值之间的深刻联系。杰克森、伯恩斯坦、A.赞格蒙证明:2π周期函数ƒ(x)具有满足条件 或 的r阶导数ƒ(r)(r=0，1,2,…)的充分必要条件是，ƒ(x)借助于三角多项式的n阶最佳一致逼近值（简称最佳逼近，简记为）满足条件 ,式中的M,A是不依赖于n的正的常数。对于【α,b】区间上的（不考虑周期性）连续函数借助于代数多项式的逼近值与函数构造性质间的联系也有和上述结果相类似的定理，不过情况比周期函数复杂多了。这一问题是在50年代由苏联数学家Α.Ф.季曼、Β.К.贾德克解决的。
杰克森、伯恩斯坦等人的工作对逼近论的发展所产生的影响是深远的。沿着他们开辟的方向继续深入，到20世纪30年代中期出现了J.A.法瓦尔、Α.Η.柯尔莫哥洛夫关于周期可微函数类借助于三角多项式的最佳逼近的精确估计以及借助于傅里叶级数部分和的一致逼近的渐近精确估计的工作。这两个工作把从杰克森开始的逼近论的定量研究提高到一个新的水平。从那时起，直到60年代,以С.М.尼科利斯基、Α.И.阿希耶泽尔等人为代表的很多逼近论学者在定量研究方面继续有许多精深的研究工作。 切比雪夫发现了连续函数的最佳逼近多项式的特征，提出了以切比雪夫交错点组著称的特征定理。最佳逼近多项式是唯一存在的。最佳逼近多项式的存在性、唯一性及其特征定理都是定性的结果，对这些问题的深入研究构成了逼近论定性研究的基本内容。匈牙利数学家A.哈尔在1918年首先研究了用广义多项式在【α,b】上对任意连续函数ƒ的最佳逼近多项式的唯一性问题。在【α,b】上给定n+1个线性无关的连续函。作为逼近函数类，式中α0,α1,…,αn是任意参数。这样的P(x)称为广义多项式。是存在的。哈尔证明,为了对每一连续函数ƒ唯一,必须而且只须任一不恒等于零的广义多项式P(x,α0,α1,…,αn)在【α, b】内至多有n个不同的根。在20世纪20～30年代,伯恩斯坦、М.Γ.克列因等人对满足哈尔条件的函做过很多深入的研究。它在逼近论、插值论、样条分析、矩量论、数理统计中有着比较广泛的应用。
关于最佳逼近多项式的切比雪夫特征定理也有很多进一步的研究和推广。其中最重要的一个推广是柯尔莫哥洛夫在1948年做出的，它涉及复平面的闭集上的复值连续函数借助于复值广义多项式的一致逼近问题（见复变函数逼近）。
对于lp【α，b】（1≤p<+∞）内的函数ƒ借助于广义多项式在p 次幂尺度下的逼近问题也建立了类似的一套定性理论。到50～60年代，经过一些学者的努力，抽象逼近的定性理论建立起来。 最佳逼近多项式和被逼近函数间的关系除了平方逼近的情形外一般都不是线性关系。线性关系比较简单，线性算子比较容易构造。所以在逼近论发展中人们一直非常重视对线性逼近方法的研究，形成了逼近论中一个很重要的分支──线性算子的逼近理论。针对特定的函数类、特定的逼近问题设计出构造简便、逼近性能良好的线性逼近方法与研究各种类型的线性逼近方法（算子）的逼近性能，一直是线性算子逼近理论的中心研究课题。在这一方面，几十年来取得了十分丰富的成果。比较著名的经典结果有E.B.沃罗诺夫斯卡娅、G.G.洛伦茨等对经典的伯恩斯坦多项式
的研究；柯尔莫哥洛夫、尼科利斯基等对周期可微函数的傅里叶级数部分和的逼近阶的渐近精确估计；40～60年代许多逼近论学者对作为逼近方法的傅里叶级数的线性求和过程逼近性能的研究（包括对傅里叶级数的费耶尔平均、泊松平均、瓦莱·普桑平均等经典的线性平均方法的研究）。50年代初期∏.∏.科罗夫金深入研究了线性正算子作为逼近方法的特征，开辟了单调算子逼近理论的新方向（见线性正算子逼近）。40年代中期法瓦尔在概括前人对线性算子逼近的研究成果的基础上，提出了线性算子的饱和性概念做为刻画算子的逼近性能的一个基本概念，开辟了算子饱和理论研究的新方向。 从实际应用的角度来看，要解决一个函数的最佳逼近问题，需要构造出最佳逼近元和算出最佳逼近值。一般说要精确解决这两个问题十分困难。这种情况促使人们为寻求最佳逼近元的近似表示和最佳逼近值的近似估计而设计出各种数值方法。一个数值方法中包含着有限个确定的步骤，借助它对每一个函数ƒ可以在它的逼近函数类P(x，α0,α1,…,αn)中求出一个函数作为最佳逼近元的近似解，并且可以估计出误差。数值方法自然不限于函数的最佳逼近问题。在插值、求积（计算积分的近似值）、函数的展开理论中也都建立了相应的数值方法。近20年来由于快速电子计算机的广泛应用,数值逼近理论和方法的研究发展很快,成为计算数学和应用数学的重要分支。
除了以上列举的几个方向外,还发展了插值逼近、借助于非线性集（如有理函数）的逼近、联合逼近、在抽象空间内的逼近等等。 多元函数的逼近问题具有很重要的理论和实践意义。由于在多元函数的逼近问题中包含了很多为单变元情形所没有的新的困难，所以多元函数的逼近论比单变元情形的发展要慢得多和晚得多。在多元逼近的情形下已经研究得比较充分的一个基本问题是函数借助于三角多项式或指数型整函数的最佳逼近阶和函数（在一定意义下的）光滑性之间的关系。这一工作主要是由苏联学者尼柯利斯基和他的学生们于50～60年代完成的。它除了对函数逼近论本身有重要意义之外，还有很多重要应用。例如，对研究多元函数在低维子流形上的性质，多元函数在一定要求下的开拓问题等都有重要作用。后一类问题的研究属于泛函分析中的嵌入定理。近年来，在多元函数的线性算子逼近、插值逼近、样条逼近和用单变元函数的复合近似表示多元函数等方面都有所进展。
现在函数逼近论已成为函数理论中最活跃的分支之一。科学技术的蓬勃发展和快速电子计算机的广泛使用给它的发展以强大的刺激。现代数学的许多分支，包括基础数学中象拓扑、泛函分析、代数这样的抽象学科以及计算数学、数理方程、概率统计、应用数学中的一些分支都和逼近论有着这样那样的联系。函数逼近论正在从过去基本上属于古典分析的一个分支发展成为同许多数学分支相互交叉的、密切联系实际的、带有一定综合特色的分支学科。

㈢ 数学分析 高数 连续函数的多项式逼近（2）设函数f（x）在一个无穷区间上可被多项式逼近，证明f（x

就是用Cauchy收敛原理，当N充分大以后多项式序列之间只能相差常数（不是常数的多项式都是无界的）

㈣ 简述折线近似分析法

你这种情况比较复杂!如果是多个系列，一部分生成柱状图，另一部分生成折线图。可先将所有系列生成柱状图，然后用鼠标选中需要改成折线图的系列，点右键选“图表类型”，从弹出的窗口中选折线图，确定即可。

㈤ 数学分析中的无限逼近思想该怎么理解

既然你知道是什么意思，那就可以了啊。
为什么你会觉得“没有必要”呢？这样描述的好处就是很准确，比用直观的语言解释更准确。
无穷的概念，个人觉得可以理解为：无穷大意味着比任何一个给定的数字都大，无穷小意味着比任何一个给定的数字都小（大于零的数）。直观地说就是非常非常大，以及非常非常小。。。

㈥ 数学分析 高数 连续函数的多项式逼近（1） 谢谢！

先证明满足条件的多项式只能是0，然后用一列多项式序列一致逼近f(x)即可

㈦ 什么是近似分析解

根据无限的"无有终了"的事实,应当把无尽小数看作无穷数列简写,采用这种观点就可以得到实数的运算法则;如果用康托(Cantor,G)的"无限是现实的、完成了的、存在着的整体"的"实无限"观点就得不到这个法则.点是针对误差界的足够小,其中没有大小的点叫做理想点,有大小的点叫做近似点.理想点具有无法点出的性质.近似点的集合能够组成线段,但理想点的集合不能组成线段.绝对准确地讨论没有大小的理想瞬时上的速度没有实际意义,理想的瞬时速度依赖于近似瞬时的速度.对于点、线、面、实数、函数、导数、积分、积分变换、实数集等数学名词都需要提出近似、理想、全能近似三类技术术语,应用对立统一法则去阐述数学理论.

㈧ 有哪些理论是运用无限逼近思想的

初中数学教材中体现出的基本数学思想 数学思想方法是数学学科的精髓,是数学素养的重要内容之一,只有充分掌握领会,才能用效地应用知识,形成能力.那么,什么是数学思想呢?数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系不反映到人的意识之中,经过思维活动而产生结果,是对数学事实与理论的本质认识. 初中数学整套教材涉及的数学思想三十多种,这里就几种主要的数学思想作一总结. 一、用字母表示数的思想,这是基本的数学思想之一 在代数第一册第一章“代数初步知识”中,主要体现了这种思想.例如： 设甲数为a,乙数为b,用代数式表示：（1）甲乙两数的和的2倍：2（a+b）(2)甲数的1/3与乙数的1/2差：1/3a-1/2b 二、数形结合的思想 “数形结合”是数学中最重要的,也是最基本的思想方法之一,是解决许多数学问题的有效思想.实中数学教材中下列内容体现了这种思想. 1、数轴上的点与实数的一一对应的关系. 2、平面上的点与有序实数对的一一对应的关系. 3、函数式与图像之间的关系. 4、线段（角）的和、差、倍、分等问题,充分利用数来反映形. 5、解三角形,求角度和边长,引入了三角函数,这是用代数方法解决何问题.6、“圆”这一章中,贺的定义,点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的. 7、统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表,用这些图表的反映数据的分情况,发展趋势等.实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况,发展趋势等.实际上就是通过“形”来反映数的特征,这是数形结合思想在实际中的直接应用. 三、转化思想 在整个初中数学中,转化（化归）思想一直贯穿其中.转化思想是把一个未知（待解决）的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决,它是数学基本思想方法之一.下列内容体现了这种思想： 1、分式方程的求解是分式方程转化为前面学过的一元二次方程求解,这里把待解决的新问题化为已解决的问题来求解,体现了转化思想. 2、解直角三角形；把非直角三形问题化为直角三角形问题；把实际问题转化为数学问题. 3、“圆”这一章中,证明圆周角定理进所做的分析：证明弦切角定理的思路：求两圆的切线长的问题.这些转化都是通过辅助线来完成的. 4、把三角形或多边形中的某种线段或面积问题化为相似比问题来解决. 四、分类思想 集合的分类,有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类,三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关生活经验等都是通过分类讨论的. 五、特殊与一般化思想 1．“圆”这一章中,证明圆周角定理和弦切角定理时用的是特殊到一般的方法,而相交弦定理及其推论则是一般到特殊的思想运用. 2.“整式乘除”这一章,首先人数和的运算特例中,抽象概括出幂的一般运算性质.例：103 ×103 =（10×10×10）（10×10）=10×10×10×10=105 =103 + 2 a3 ??a3 =a3 + 2 am ??an am + n 乘法公式的推导则是采用一般到特殊的推导过程. 六、类比思想 1． 不等式的性质,一元一次不等式的解法等内容时多采取与等式的性质,一无一次方和的解法等做类比. 2． 通过有理数的相反数、绝对值、运算律等得到实灵敏的相反数、绝对值、运算律等知识. 3． 在二次根式加减的运算中,指出“合并同类二次根式与合并同类项”类似.因此,二次根式的加减可以对比整式的加减进行. 4． “角的度量、角的比较大小、角的和、差及平他线”,可与线段的相关知识进行类比；度、分、秒的运算可与时、分、秒的运算进行类比. 5． 相似多边形的性质和相似三角形的性质类比. 七、数式通性 用数的运算所具有的性质,去控索式的同类运算是否也具有这样的性质,如具有,叫数式通性,整式的乘除这一章中,是由数的性质推知式的性质的；由数的国减推知式的加减的. 八、同类合并思想 这一思想在“整式的加减”这一章中的具体体现是合并同类项.“根式”这一章中的合并同类根式. 九、无逼近思想 在无限不循环小数以及用有理数逼近表示无理数时,体现了无限逼近的思想. 十、对称变换思想 在 根式乘法、根式除法、√a2 =a(a=0)等内容中,多次运用等价转化、对称变化,反用公式的

㈨ 数学分析函数逼近部分问题，如图

这题很容易，要想想几何意义。

用反证法，如果结论不成立，那么存在(a,b)的子区间[u,v]及(u,v)上的一点m使得(v-u)f(m)>(v-m)f(u)+(m-u)f(v)。
考察函数g(x)=f(x)-L(x)，其中L(x)=[f(v)-f(u)](x-u)/(v-u)，即连接(u,f(u))和(v,f(v))的直线段，这样g(u)=g(v)=0但g(m)>0，不妨设m是g在[u,v]上的最大值点。
再取H=sup{h|[m-h,m+h]包含于[u,v]且对任意x属于[m-h,m+h]都有g(x)>=0}，那么显然H存在且g(m+H)和g(m-H)中至少有一个为零，此时直接验证积分的条件不成立即可，两道题都一样。

㈩ 分析透镜焦距的测量实验中，左右逼近法读数原理及作用

做实验，材料光屏、蜡烛、凸透镜、光具座，在凸透镜的焦点上不能成像，那么不能成像的位置就是焦点，而数据可以定为在一倍焦距内、二倍焦距内和二倍焦距外的数据进行测量、记录。做实验，材料光屏、蜡烛、凸透镜、光具座，在凸透镜的焦点上不能成像，那么不能成像的位置就是焦点，而数据可以定为在一倍焦距内、二倍焦距内和二倍焦距外的数据进行测量、记录。做实验，材料光屏、蜡烛、凸透镜、光具座，在凸透镜的焦点上不能成像，那么不能成像的位置就是焦点，而数据可以定为在一倍焦距内、二倍焦距内和二倍焦距外的数据进行测量、记录。做实验，材料光屏、蜡烛、凸透镜、光具座，在凸透镜的焦点上不能成像，那么不能成像的位置就是焦点，而数据可以定为在一倍焦距内、二倍焦距内和二倍焦距外的数据进行测量、记录。做实验，材料光屏、蜡烛、凸透镜、光具座，在凸透镜的焦点上不能成像，那么不能成像的位置就是焦点，而数据可以定为在一倍焦距内、二倍焦距内和二倍焦距外的数据进行测量、记录。做实验，材料光屏、蜡烛、凸透镜、光具座，在凸透镜的焦点上不能成像，那么不能成像的位置就是焦点，而数据可以定为在一倍焦距内、二倍焦距内和二倍焦距外的数据进行测量、记录。做实验，材料光屏、蜡烛、凸透镜、光具座，在凸透镜的焦点上不能成像，那么不能成像的位置就是焦点，而数据可以定为在一倍焦距内、二倍焦距内和二倍焦距外的数据进行测量、记录。