求解期權價格公式

㈠ 哪位高人可以推導出金融期權的定價公式啊

這個方法也有不止一種，因為各種模型總會有不同和假設，和現實有差異。
建議你去看《Options, Futures, and Other Derivatives》 John C. Hull 這本書。也有翻譯過來的中文版《期權，期貨和其他衍生品》裡面從第十章開始有介紹期權定價的問題。
需要一定的微積分基礎的。這里也沒辦法寫出來。自己去解本書看看吧。那本書公式推導什麼都很清楚。

㈡ 什麼是期權定價的BS公式

Black-Scholes-Merton期權定價模型（Black-Scholes-Merton Option Pricing Model），即布萊克—斯克爾斯期權定價模型。

B-S-M定價公式
C=S·N(d1)-X·exp(-r·T)·N(d2)
其中:
d1=[ln(S/X)+(r+σ^2/2)T]/(σ√T)
d2=d1-σ·√T
C—期權初始合理價格
X—期權執行價格
S—所交易金融資產現價
T—期權有效期
r—連續復利計無風險利率
σ—股票連續復利（對數）回報率的年度波動率（標准差）

N(d1)，N(d2）—正態分布變數的累積概率分布函數，在此應當說明兩點：

第一，該模型中無風險利率必須是連續復利形式。一個簡單的或不連續的無風險利率(設為r0)一般是一年計息一次，而r要求為連續復利利率。r0必須轉化為r方能代入上式計算。兩者換算關系為：r=LN(1+r0)或r0=exp(r)-1例如r0=0.06，則r=LN(1+0.06)=0.0583，即100以583%的連續復利投資第二年將獲106，該結果與直接用r0=0.06計算的答案一致。

第二，期權有效期T的相對數表示，即期權有效天數與一年365天的比值。如果期權有效期為100天，則T=100/365=0.274。

㈢ 計算期權價格

期權價格亦稱期權費、期權的買賣價格、期權的銷售價格。通常作為期權的保險金，由版期權的購買人權將其支付給期權簽發人，從而取得期權簽發人讓渡的期權。它具有既是期權購買人成本，又是期權簽發人收益的二重性，同時它也是期權購買人在期權交易中可能蒙受的最大損失。

㈣ 期權價格計算

我敢肯定的說，這個題目不完整，沒有說合約單位是多少，所以沒辦法得到確定的專答案。 假設按屬國內豆粕等商品期權每張合約10噸為單位，那麼求出答案為3560元/噸。如果結果為3700元/噸，反推合約單位應為每張合約3噸。 感覺上不大可能，問題主人，再看看，補充下問題吧，然後大家再一起討論下。

㈤ 期權的定價方法

這是一個老題目了，在知乎里也有一些類似的問題，但總感覺所有回答都有所欠缺，所以希望在這里對所有的數值方法進行一個梳理。按照我個人的分類，期權定價的數值方法分為五個大類：解析解方法，樹方法，偏微分方程數值解方法，蒙特卡洛方法，傅立葉變換方法。

1）解析解方法：

一個期權定價問題，其實就是根據已知的隨機微分方程（SDE）模型，然後來求解關於這個隨機過程函數表達式的過程。這也是為什麼隨機微積分和Ito lemma會是金融工程的核心知識之一，因為Ito直接告訴了我們一個隨機過程的函數所滿足的新SDE：

m{d}f(t, X_{t})=frac{partial f}{partial t} m{d}t + frac{partial f}{partial X_t} m{d}X_t + frac{1}{2}frac{partial^2 f}{partial X_t^2} m{d}[X, X]_t

然後，如果我們可以求出這個SDE的解析解，那麼一個歐式無路徑依賴期權的價格就是它在終值時刻折現的期望值。這就是一種期權定價的解析解方法，當然你也可以利用PDE來求解，由於Feynman Kac定理的存在，PDE和條件期望的答案會是一致的。

而這類方法的優點是顯而易見的，一旦解析解存在，那麼期權的價格公式計算速度就會非常之快，不論做擬合還是優化都會有效率上質的提升，而這類方法的缺點也很明顯，那就是，對於大部分模型和大部分奇異期權，解析解未必存在。

2）樹方法

之所以叫樹方法而不叫二叉樹，是因為我們也將討論三叉樹模型，但其實本質思想是一模一樣的。

如果告知你了一個標的資產的波動率，那麼你可以通過下述式子構造一個N段的二叉樹的上下波動：

u = m{e}^{sigmasqrt{T/N}}, d = m{e}^{-sigmasqrt{T/N}}

然後利用逆推，來得到初始時刻的期權價格。

那麼三叉樹呢？首先要明白一個道理，除了滿足了下列條件的三叉樹模型(u是上叉，d是下叉，l是中叉)

其餘的三叉樹都是incomplete market。在其餘的樹模型下，我們只能做到super-replicate，而不能完成perfect hedge。而這獨有的一種三叉樹模型，也成為了最常用的樹模型之一。或許有人好奇為什麼有二叉樹了，還有人使用更麻煩的三叉樹。這是因為三叉樹的收斂速度要高於二叉樹。

那麼樹模型的優缺點又是什麼呢？樹模型有一個任何連續時間模型都無法取代的優點，那就是每一個定價，在樹模型里，不論美式、歐式、路徑依賴、奇異，通過Backward Inction Principle得到價格，永遠都是伴隨著顯式對沖策略的。而在連續時間模型里，想獲得連續時間對沖策略的這類問題，是一個倒向隨機微分方程（BSDE）問題，有很多時候並不是那麼好解決的，尤其是當期權有奇異或美式屬性的時候。

另一方面，樹模型缺點也顯而易見，高維度問題樹模型是不能解決的，所以對於多個標的資產的問題，尤其是具有相關系數的資產，我們只能訴之於他法。而從速度上來講，樹模型的收斂速度是要低於PDE方法的。

3）PDE方法

很多對於quantitative finance陌生的人也會聽說過Black Scholes PDE。而實際上，不同的隨機模型，都會對應不同的PDE。BS PDE只不過是單資產符合幾何布朗運動隨機模型的PDE表達罷了。因為對於期權，我們往往知曉它最終到期日的payoff，所以我們用payoff函數來作為這個PDE的終值條件。

如果PDE存在解析解，最優辦法自然也是求解析解。然而，如果解析解不存在，我們就必須訴諸數值方法。最常用的數值解方法就是有限差分，也就是將所有變數構造一個網格，然後利用網格上的差分方法來估計偏導數，進而將PDE問題轉化為代數問題。而對於期權定價的PDE，我們會根據期權的性質，獲得這個PDE終值條件和邊值條件。然而，有時候根據不同的模型，我們可能得到的並不是一個簡單的PDE，而可能是PIDE（partial integral differential equation），也就是在PDE中多了積分項，這時候，我們需要同時再藉助數值積分來完成數值計算。

PDE的數值問題自然還有很多的選擇，有限元、譜方法都在列。但期權定價PDE本身並不像很多物理PDE有很大的非線性程度，邊界也並沒有那麼奇怪，所以基本上有限差分是可以解決絕大部分問題的。

有限差分法分三種：顯式差分，隱式差分，交錯差分。我們不深入研究演算法，但幾個點就是：穩定性上，顯式差分是條件穩定的，另外兩種都是無條件穩定；計算復雜度上，顯示最簡單，隱式次之，交錯最繁瑣；精確性上，顯式、隱式是同階的，交錯差分的特殊情形，顯式和隱式各佔一半時，也就是Crank-Nicolson差分，精度會在時間上也上升一階。

另外，在期權定價中PDE有兩大類，正向和倒向。傳統的BS PDE就是倒向的一個典型例子，它的終值條件就是期權的payoff function。而一個倒向PDE所對應的正向PDE，它不再是期權價格滿足的PDE，而是這個標的的「價格密度」所滿足的PDE。這個「價格密度」被稱為State price，或者Arrow Debreu price，抑或是Green function。而這個在我之前的一篇文章有介紹過

Arrow Debreu price與快速擬合

而PDE方法的缺點主要有兩點：路徑依賴問題，高維度問題。很多路徑依賴問題的PDE形式是很麻煩，甚至無法表達的，比如亞氏期權，比如回望期權。而對於高維度問題，如果PDE的數值方法會從平面網格上升到空間網格，在復雜度上不但繁瑣，而且在邊值條件上更難以控制。而PDE的優點則是速度快，而且根據差分的數值方法，在計算Greeks的時候不需要加以再次的bumping計算。舉個例子，如果不降維，一個具有兩個assets的期權的有限差分就是這樣的一個立方網格：

4）蒙特卡洛方法

蒙特卡洛方法是目前應用范圍最廣泛的方法了。因為不存在提前行權屬性的期權價格其實就是一個期望，所以我們就可以通過模擬很多的路徑，來用平均數估計真實期望。而美式或百慕大這種具有提前行權屬性的期權，它的期權價格其實是一個隨機優化問題。這類問題我們可以採用regression-based Monte Carlo，也就是最小二乘蒙特卡洛，利用regression來估計conditional NPV，然後再用蒙特卡洛求解當前價值。

所以說，蒙特卡洛方法是最為general的方法了。然而，蒙特卡洛的缺點也是顯而易見：因為要模擬上百萬條路徑，而且對於奇異期權還要做路徑上的計算，美式更要做回歸，蒙特卡洛方法成為了計算時間長的代名詞。但幸運的是，我們有三種提速的方法：1，利用方差縮減，在保證方差恆定的基礎上，可以減少模擬路徑；2，利用Multi-level 蒙特卡洛，減少complexity；3，利用GPU或超級計算機，進行並行計算。

對於普通蒙特卡洛方法，上述三種方法都是可行的，而且GPU的提速是非常顯著的。對於方差縮減，得強調一點的就是，一般而言，最簡單的方式是對偶變數，其次是控制變數，然後是利用條件期望，最難的是importance sampling，而在效果和適用范圍上，它們的排序往往是剛好相反的。比如美式期權的最小二乘蒙特卡洛，方差縮減的最有效手法就是important sampling，其他方法的效果很小。

這里另外再著重強調一下最小二乘蒙特卡洛。最小二乘蒙特卡洛的流程大致如下：首先，正向模擬標的路徑；其次，倒向在每個時間節點，對所有路徑值進行回歸，估算條件期望，直到初始時間點；最後，求平均。所以值得注意的一點就是，在這里，如果單純使用GPU cluster進行提速，效果並不是很理想，因為路徑模擬並不是最消耗時間的步驟，對所有路徑回歸才是。雖然如此，但其實還是可以用GPU cluster來對回歸精度加以提升，比如可以將路徑進行歸類，然後將global regressor轉換成多個local regressor。

總的來說，蒙特卡洛方法是期權定價中適用范圍最廣的數值方法，但也是最慢的方法。然而，我們可以利用方差縮減、復雜度縮減，以及GPU計算來優化我們的蒙特卡洛演算法，達到提速與增加精確性的目的。

5）傅立葉方法

傅立葉方法也被稱為特徵函數法，利用的就是對於很多的模型，它們的特徵函數往往是顯式表達的，比如靠具有independent increment的infinitely divisible process來決定的模型，因為在這樣的情況下，我們有Levy-Khintchine representation，很多擬合性質很好的過程，比如Variance Gamma，Normal Inverse Gaussian都屬於這一類。而特徵函數實際上可以看作是一個隨機變數的傅立葉變換，這也就是這個名字的由來。

如果我們有顯式表達的特徵函數，我們可以通過傅立葉逆變換來得到原隨機變數的密度，進而達到求解期權價格的目的。一般來講，這樣的方法要比PDE方法更加快速，因為數值積分的速度要比微分方程數值解的速度要快。然而，這類方法的缺陷也是顯而易見的，路徑依賴性和維度問題，以及我們必須要有顯式表達的特徵函數。

總結：

在這里，我們只講一些面上的東西。具體深入的東西，我會在公眾號：衍生財經上詳談。

㈥ BS期權定價公式

Black-Scholes-Merton期權定價模型（Black-Scholes-Merton Option Pricing Model），即布萊克—斯克爾斯期權定價模型。
B-S-M定價公式
C=S·N(d1)-X·exp(-r·T)·N(d2)
其中:
d1=[ln(S/X)+(r+σ^2/2)T]/(σ√T)
d2=d1-σ·√T
C—期權初始合理價格
X—期權執行價格
S—所交易金融資產現價
T—期權有效期
r—連續復利計無風險利率
σ—股票連續復利（對數）回報率的年度波動率（標准差）
N(d1)，N(d2）—正態分布變數的累積概率分布函數，在此應當說明兩點：
第一，該模型中無風險利率必須是連續復利形式。一個簡單的或不連續的無風險利率(設為r0)一般是一年計息一次，而r要求為連續復利利率。r0必須轉化為r方能代入上式計算。兩者換算關系為：r=LN(1+r0)或r0=exp(r)-1例如r0=0.06，則r=LN(1+0.06)=0.0583，即100以583%的連續復利投資第二年將獲106，該結果與直接用r0=0.06計算的答案一致。
第二，期權有效期T的相對數表示，即期權有效天數與一年365天的比值。如果期權有效期為100天，則T=100/365=0.274。

㈦ 請問這道有關期權價格的題怎麼解(計算過程+公式)

B-S公式和看漲期權看跌期權平價公式，去看書，然後套公式

這里告訴你公式，你也不會明白是怎麼回事，還是要看書

㈧ 期權的平價公式如何推導

期權平價公式：C+Ke^(-rT)=P+S。

假設標的證券在期權存續期間沒有收益，認購-認沽期權平價關系即：認購期權價格與行權價的現值之和等於認沽期權的價格加上標的證券現價（c+PV(X)=p+S）。認購期權價格C與行權價K的現值之和等於認沽期權的價格P加上標的證券現價S=Ke^(-rT)：K乘以e的-rT次方，也就是K的現值。e的-rT次方是連續復利的折現系數。也可用exp（-rT）表示貼現因子。

根據無套利原則推導：構造兩個投資組合。

1.看漲期權C，行權價K，距離到期時間T。現金賬戶Ke^(-rT)，利率r，期權到期時恰好變成行權價K。

2.看跌期權P，行權價K，距離到期時間T。標的物股票，現價S。看到期時這兩個投資組合的情況。

3.股價St大於K：投資組合1，行使看漲期權C，花掉現金賬戶K，買入標的物股票，股價為St。投資組合2，放棄行使看跌期權，持有股票，股價為St。

4.股價St小於K：投資組合1，放棄行使看漲期權，持有現金K。投資組合2，行使看跌期權，賣出標的物股票，得到現金K

5.股價等於K：兩個期權都不行權，投資組合1現金K，投資組合2股票價格等於K。從上面的討論我們可以看到，無論股價如何變化，到期時兩個投資組合的價值一定相等，所以他們的現值也一定相等。根據無套利原則，兩個價值相等的投資組合價格一定相等。所以我們可以得到C+Ke^(-rT)=P+S。換一種思路理解：C- P = S- Ke^(-rT)

(8)求解期權價格公式擴展閱讀

結算類型

1.股票結算方式

在股票交易中，如果投資者希望買入一定數量的股票，其就必須立即支付全部費用才能獲得股票，一旦買入股票後出現股票價格上漲，那麼投資者也必須賣出股票才能獲得價差利潤。因此，其結算要求是：交易要立即以現金支付才能達成，而損益必須在交易結束後不再持有標的物時才能實現。在期權市場上，股票類結算方法與此非常類似。

股票類結算方法的基本要求是：期權費必須立即以現金支付，並且只要不對沖部位，就無法實現盈虧。這種結算方法主要用在股票期權和股票指數期權交易中，期權合約的結算與標的資產的結算程序大致相同。

2.期貨類結算方法

期貨類結算方法與期貨市場的結算方法十分相似，也採用每日結算制度。期貨市場通常採用這樣的結算方式。

不過，由於採用期貨類結算方法的風險較大，因此許多交易所只是在期貨期權交易中採用了期貨類結算方法，而在股票期權和股指期權交易中仍採用股票類結算方法。這樣，期權交易的結算程序可以因期權及其標的資產的結算程序相同而大大簡化。

參考資料來源：網路-期權