1. 怎樣推算出斐波那契數列後項與前項的比值的極限是黃金比例
嚴謹的通項法：
構建等比數列就能輕易求出通項an=s(p^n-q^n)，s=(根號5)/5，p=(1+根號5)/2，q=(1-根號5)/2，則a(n+1)/an =p*[1-(q/p)^(n+1)]/[1-(q/p)^n]=p*[1-t^(n+1)]/[1-t^n]<p*1=p
推理法：
a(n+2)=a(n+1)+an,an>0.
a(n+2) / a(n+1) = 1 + an / a(n+1) ，
設a(n+1) / an =Xn >0,
則X(n+1) =1 + 1 / Xn
假設Xn無窮大，則X(n+1)也無窮大，與X(n+1)=1+1/Xn趨向於1矛盾。
假設Xn無限接近0，則X(n+1)也無限接近0，與X(n+1)=1+1/Xn趨向於無窮大矛盾。
所以，Xn必然有極限值。
設Xn的極限為x，則有
x=1+1/x，即x^2-x-1=0,解得x=p>0
2. 斐波那契數列和黃金分割有哪些方面的作用
波浪理論的數字基礎是斐波那契數列
黃金分割比率可用於股票市場運行的時間周期和價格幅度模型方面
3. 根據斐波那契數列,怎麼計算出黃金分割比是多少
^設一條線段AB的長度為a，
C點在靠近B點的黃金分割點上且AC為b
AC/AB=BC/AC
b^版2=a×權(a-b)
b^2=a^2-ab
a^2-ab+(1/4)b^2=(5/4)×b^2
(a-b/2)^2=(5/4)b^2
a-b/2=（√5/2）×b
a-b/2=(√5)b/2
a=b/2+(√5)b/2
a/b=(√5+1)/2
∴b/a=2/(√5+1)
b/a=2(√5-1)/(√5+1)(√5-1)
b/a=2(√5-1)/4
b/a=(√5-1)/2 如果你想做黃金投資，推薦你去交易家很不錯
4. 黃金分割率和斐波那契的聯系
若求出它的通式則可直接證明，不過求法太復雜，當時我也是花了很長那版個時間，權
有簡便方法
設Xn=Fn+1/Fn=(Fn+Fn-1)/Fn=1+ Fn-1/Fn=1+1/Xn-1;
即有Xn=1+1/Xn-1；
求極限，x=1+1/x;
解得x=（1+sqr（5））/2
而Fn/Fn+1=1/x=（sqr（5）-1）/2
回答補充：憑什麼說n趨近於無窮大時Xn=Xn-1？
這還是比較難的，你可以證明【Xn-（1+sqr（5））/2】是單調遞減的，又【Xn-（1+sqr（5））/2】是有界的，根據「單調且有界的序列收斂」可知【Xn-（1+sqr（5））/2】有極限，即Xn有極限，所以limXn=limXn-1
若已經說明n趨近於無窮大時Xn=Xn-1，則X=1+1/X，解方程即可解的
（這些都是大學里的數學分析里的，到時學了就知道了，其實你問的這道題剛好是我們的一次作業，哈哈）
改正：應該是|【Xn-（1+sqr（5））/2】|是單調遞減的，所以|【Xn-（1+sqr（5））/2】|<|【X1-（1+sqr（5））/2】|,所以有界
意思是單調並且有界的數列有極限
5. 關於斐波那契數列與黃金比例
樓主可以注意這樣一個最簡單的無窮連分數：1/(1+1/(1+1/(1+...)))
這里寫起來不夠直觀，樓主可以把這個最簡單的無窮連分數寫在紙上，可以看得很清楚。
我們先把這個最簡單的無窮連分數展開幾步看看：
1/(1+1/1)=1/2
1/(1+1/2)=1/(3/2)=2/3
1/(1+2/3)=1/(5/3)=3/5
1/(1+3/5)=1/(8/5)=5/8
......
可以直觀的看出，繁分數分母總是大於1，所以的值總是小於1
而分子總是取先前的分母，除了第一次分子分母均是1時，值等於1/2，後來的值均大於1/2
而每次計算繁分數時，繁分數分母中的分母總是不變，分子總是先前分子與分母之和
這就完全符合斐波那契數列的展開規律
那麼這個最簡單的無窮連分數的值是多少呢？
也就是斐波那契數列連續兩項之比的極限是多少呢？
設：x=1/(1+1/(1+1/(1+...)))
顯然有：x=1/(1+x)
即：x^2+x-1=0
x=(√5-1)/2=0.618...(捨去負值)
這就是黃金分割比例，也是斐波那契數列連續兩項之比的極限
這就是樓主所說的：「越來越接近黃金比例」的原因。
所謂「隨n的增加，兩數之間的差距越來越小」，其實就是越來越接近極限嘛。
那為什麼「任意兩數不斷相加」都這樣呢？
黃金分割比例其實是個中外比的問題：
所謂中外比，就是分已知線段為兩部分，使其中一部分是全線段與另一部分的比例中項。
如果把較長的一段設為x，則較短的一段為1-x
所以，x^2=1*(1-x) 【其中「1」表示全線段】
即：x^2+x-1=0，與上面解最簡單的無窮連分數的方程完全一致
注意這里的全線段用1來表示，這就是說求黃金分割比例與線段的實際長度無關
同樣道理，對於斐波那契數列的展開，如果考察的是前後兩項的比例
那麼，從哪兩個數開始相加，就是無所謂的了
因為總是兩個數中的大數與兩數和之比，這與黃金分割的中外比完全是一個意思
況且除了第一個比值還不是與「和」比之外，其他所有比值總是在0.5和1之間
如果開始的兩個數不相同，那麼：m,n,m+n,m+2n,2m+3n,3m+5n,...
可見還是按斐波那契數列規律在展開，當然這是大致理解，嚴格的證明要看相關資料
再想想看，如果斐波那契數列最開始兩個數是1和2呢？不同了吧。
還不是一樣展開，除少了第一項外，其他並沒有什麼不同。
如果開始的兩個數相同，那麼：m,m,2m,3m,...其實就是斐波那契數列，
只是每個數差個m倍而已，完全不影響連續兩項之比的值
6. 黃金分割與「斐波那契數列」有什麼聯系
1753年，格拉斯哥大學的數學家西摩松（R．Simson）發現，隨著數字的增大，斐波那契數列兩數內間的比值越來越接近黃容金分割率，即隨著n的無限增大，Fn+1Fn越來越接近於5√+12；反之，FnFn+1以5√−12為極限。這提示我們，斐波那契數列是一個與黃金分割數關系異常密切的數列。
其實，斐波那契數列的通項公式為：
Fn=15√[(5√+12)n−(−5√+12)n]
原來它竟然是用黃金分割數表達的！18世紀中葉，著名數學家棣莫佛（A．de Moivre）和歐拉已經知道這個公式。
如果從中切掉一個正方形（邊長等於原矩形的寬），剩下的部分仍是黃金矩形。依此繼續切割，就會得到越來越小的黃金矩形。黃金矩形被這樣切割後，矩形的一部分頂點恰好落在一條螺線上。斐波那契數列與此相似，你可以用邊長1的正方形做反向操作。加上一個同樣的正方形，得到一個新的矩形。若不斷在長邊上添加正方形，新產生的長邊就會遵循斐波那契數列，每一個比前一個的形狀更為接近黃金矩形。
7. 黃金分割與「斐波那契數列」有什麼聯系
那斐波那契數列與黃金分割是什麼關系，經過多方研究發現，相鄰兩個斐波那契數的比值是隨著序號的增加逐漸趨於黃金分割比。即f(n)/f(n+1)-→0.618…。由於斐波那契數都是整數，兩個整數相除的商是有理數，所以只是逐漸逼近黃金分割比這個無理數。但如果繼續我們繼續計算出後面更大的斐波那契數時，就會發現後面相鄰兩個數的比會非常接近黃金分割比。
而且我們還有一個例子更能說明這個問題。那就是我們大家都熟知的五角星/正五邊形。五角星非常漂亮，我國的國旗有五顆，還有不少的國家的國旗也用五角星，為什麼呢？那是因為，五角星的幾條線段之間的長度關系都是符合黃金分割比的，而且正五邊形對角線連滿後所出現的三角形，也都是符合黃金分割三角形。黃金分割三角形還有一個特殊性。我們知道，所有的三角形都可以用四個與其本身全等的三角形來生成與其本身相似的三角形，但黃金分割三角形卻是可以用5個與其本身全等的三角開生成與其本身相似的三角形。由於五角星的頂角是36度，這樣也可以得出黃金分割的數值為2Sin18。所以利用線段上的兩個黃金分割點就很容易做出五角形和正五邊形。
8. 從黃金分割到斐波那契數列
9+18+27,...+198=9(1+2+3+..+22)=9*(1+22)*22/2=2277